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中学受験の算数・特殊算

方陣算の解き方

正方形のご石を
1つずつ数えずに当てよう！

小学4〜6年・例題3問・練習6問

▶ さっそくご石を数えてみる

方陣算でご石を数えてみよう

正方形に並んだご石の外側を、辺ごとに数えるとどこかで数えまちがえます。ご石を押して数えながら、まちがえない数え方を見つけよう。

この図でわかること

1辺5この正方形の外側を辺ごとに数えると5×4＝20こ。でもかどの4こを2回数えているので、本当は20−4＝16こです。

方陣算とは？解き方の3ステップ

方陣算（ほうじんざん）は、ご石や人などを正方形に並べたとき、外側の1周の数・1辺の数・全部の数の関係を使って数を求める計算です。中学受験の特殊算の1つで、まん中があいた「中空方陣」もよく出ます。

外側の1周は、かどから1組ずつ分けると重なりももれもなく数えられます。□に数を入れながら進もう。

ご石を1辺に9こずつ、中までぎっしり正方形に並べました。いちばん外側の1周には何こありますか。
  1. かどから1組ずつ分ける

    かどの石とそのとなりを1組にすると、1組は9−1＝8こ。

  2. 4組分を出す

    色のちがう組が4つ。8×4＝32こ。

  3. べつの数え方でたしかめる

    4辺をたすとかどを2回数えるので、9×4−4＝32こ。
    どちらも32こ ✓

ここがポイント

外側の1周は「1辺 − 1」の組が4つ。反対に、外側の数から1辺を出すときは ÷4して1たすのを忘れずに。

外側の1周＝（1辺−1）×41辺＝外側の1周÷4＋1中まで全部＝1辺×1辺

外側の1周は、輪になっているので池のまわりの植木算と同じく「ご石の数＝間の数」になります。

中空方陣の解き方（長方形4つに分ける）

まん中があいた正方形（中空方陣）も、かどから同じ形の長方形を4つ取ると、かんたんに数えられます。□に数を入れて図を完成させよう。

ご石を、外側の1辺が10こでまん中があいた正方形に、3列に並べました。ご石は全部で何こですか。
  1. 長方形1つの大きさ

    たては列の数で3こ。横は10−3＝7こ。

  2. 長方形1つの数

    3×7＝21こ。

  3. 4つ分

    21×4＝84こ。
    たしかめ
    外の正方形・10×10＝100こ
    まん中のあき・1辺10−3×2＝4こで4×4＝16こ
    100−16＝84こ ✓

中空方陣の式

長方形1つは「列 ×（1辺 − 列）」。全部は列 ×（1辺 − 列）× 4。大きな正方形からまん中のあきを引く方法でも同じ数になります。

方陣算の数え方。1辺6この正方形の外側の1周は、1辺−1の5こずつ4組に分けて20こ。1辺8こで2列の中空方陣は、同じ形の長方形4つに分けて2×6×4＝48こ。
外側の1周と中空方陣の数え方（べつの数の例）

方陣算の例題（外側・全部・あまりと不足）

ご石以外にも、人の列・タイル・いすの並びなど、正方形に並べたものは同じ考え方で数えられます。□に数を入れて解こう。

基本

例題1・外側の1周と全部

ご石を1辺12こずつ、中までぎっしり正方形に並べました。外側の1周には何こありますか。また、全部で何こありますか。
  1. 1組は12−1＝11こ。
  2. 外側の1周は11×4＝44こ。
  3. 全部は12×12＝144こ。
答えと図を見る

外側44こ・全部144こ
たしかめ・12×4−4＝44 ✓

応用

例題2・外側の数から全部を出す

ご石を中までぎっしり正方形に並べたら、いちばん外側の1周に40こありました。ご石は全部で何こですか。
  1. 1組は40÷4＝10こ。
  2. 1辺は10＋1＝11こ。
  3. 全部は11×11＝121こ。
コツ

外側の数を4で割って出るのは「1辺 − 1」。1たして1辺にしてからかけ算します。

答えと図を見る

121こ

入試

例題3・あまりと不足

ご石を中までぎっしり正方形に並べたら7こあまりました。そこでたても横も1列ずつふやそうとしたら10こたりませんでした。ご石は全部で何こありますか。
  1. 1列ずつふやすのにいる数は7＋10＝17こ。
  2. ふやす分は「もとの1辺 × 2＋1」なので、もとの1辺は(17−1)÷2＝8こ。
  3. ご石は8×8＋7＝71こ。
ふやす\u{00A0}分\u{00A0}＝\u{00A0}8×2＋1＝17こ
まちがえやすい

ふやす分を8×2＝16ことしてしまう人が多いです。右の列と下の列が重なるかどの1こを忘れずに。

答えを見る

71こ
たしかめ・9×9＝81、81−71＝10こたりない ✓

もっと・いろいろな方陣算（中空の逆算・1周ずつ色をかえる・まん中の列）›

方陣算のよくあるまちがい

友だちの解き方にまちがいがあります。まちがっている行を押してね。

たろうくん（1辺10この正方形・外側の1周は何こ？）

  1. 1辺は10こ
  2. 4辺あるので10×4＝40
  3. 外側は40こ

② がまちがい。4辺をたすとかどの4こを2回数える。10×4−4＝36こ。

はなこさん（外側の1周が48こ・1辺は何こ？）

  1. 外側は同じ組が4つ
  2. 48÷4＝12で1組は12こ
  3. だから1辺は12こ

③ がまちがい。1組は「1辺 − 1」。1辺は12＋1＝13こ。

じろうくん（1辺8こ、2列の中空方陣・答え「64こ」）

長方形1つをたしかめよう・2×(8−2)＝12こ

4つで12×4＝48こ。64こは中までぎっしり並べたときの数。まん中があいているのに気づかなかったまちがい！

方陣算の練習問題・6問（答え・解説つき）

3択です。数字は毎回かわります。全問正解で「方陣算マスター」の判がもらえます。

第1問
ご石を1辺に16こずつ、中までぎっしり正方形に並べました。いちばん外側の1周には何こありますか。
答え・60こ

かどから1組ずつ数えると、1組は16−1＝15こで4組。15×4＝60こ。

第2問
外側の1辺に8こずつ、中までぎっしりご石を並べて正方形を作りました。ご石は全部で何こですか。
答え・64こ

中までぎっしりなので、たて8こ × 横8こ＝64こ。

第3問
ご石を正方形に並べたら、いちばん外側の1周に56こありました。1辺には何こ並んでいますか。
答え・15こ

外側の1周は「1辺 − 1」の組が4つ。56÷4＝14こが1組。1辺は14＋1＝15こ。

第4問
ご石を中までぎっしり正方形に並べたら、いちばん外側の1周に36こありました。ご石は全部で何こですか。
答え・100こ

1辺は36÷4＋1＝10こ。全部は10×10＝100こ。

第5問
ご石を、外側の1辺が9こでまん中があいた正方形に、2列に並べました（中空方陣）。ご石は全部で何こですか。
答え・56こ

同じ形の長方形4つに分ける。長方形1つは2×(9−2)＝14こ。4つで56こ。たしかめ・9×9−5×5＝56 ✓

第6問
ご石を中までぎっしり正方形に並べたら5こあまりました。たても横も1列ずつふやそうとしたら8こたりませんでした。ご石は全部で何こありますか。
答え・41こ

1列ずつふやすのにいる数は5＋8＝13こ。これは「もとの1辺 × 2＋1」なので、もとの1辺は(13−1)÷2＝6こ。ご石は6×6＋5＝41こ。

ふやす\u{00A0}分\u{00A0}＝\u{00A0}6×2＋1＝13こ

いろいろな方陣算（中空の逆算・1周ずつ色をかえる・まん中の列）

中空方陣も、色分けも、「長方形4つ」や「1周ずつ」に分けて数えれば同じ考え方で解けます。

応用

全部の数から1辺を出す（中空方陣の逆算）

ご石を、まん中があいた正方形に3列に並べたら、全部で96こでした。外側の1辺には何こ並んでいますか。
解き方と答えを見る

中空方陣は同じ形の長方形4つに分けられるので、1つ分は96÷4＝24こ。長方形のたては3列、横は「1辺−3」こなので、1辺−3＝24÷3＝8。1辺は8＋3＝11こ。
たしかめ・11×11−5×5＝121−25＝96こ ✓（まん中のあいた正方形は1辺11−3×2＝5こ）

応用

1周ずつ色をかえる

1辺に9こずつ、中までぎっしり正方形にご石を並べます。いちばん外側の1周を黒、その内側の1周を白、その内側を黒…と1周ずつ交互にします。黒と白はそれぞれ何こですか。
解き方と答えを見る

1周の数は、1辺が2こずつへるごとに8こずつへります。1辺9の周は(9−1)×4＝32こ、1辺7は24こ、1辺5は16こ、1辺3は8こ、まん中は1こ。黒は32＋16＋1＝49こ、白は24＋8＝32こ。
たしかめ・49＋32＝81＝9×9 ✓

入試

まん中の列で数える

外側の1辺が10こで、3列に並んだ中空方陣のご石は何こですか。まん中の列を使って数えましょう。
解き方と答えを見る

3列のまん中の列は、1辺10−2＝8この正方形の外側の1周で、(8−1)×4＝28こ。外側の列はこれより8こ多く、内側の列は8こ少ないので、3列の平均はまん中の列と同じ28こ。28×3＝84こ。
たしかめ・10×10−4×4＝84こ ✓（3の節の長方形4つの数え方と同じ答え）

方陣算の豆知識

「方陣」は、人や物を正方形に並べた形のことです。1辺を1こずつふやすと、ふえる石は3こ、5こ、7こ、9こ…と奇数になります。だから1＋3＋5＋7＝16＝4×4のように、1から順に奇数をたすといつも「同じ数どうしのかけ算」になります。例題3の「ふやす分＝1辺×2＋1」もこの性質から来ています。

おうちの方へ

方陣算は、ご石を実際に並べたり図にかいたりして、「かどを2回数えてしまう」ことに自分で気づくのが近道です。外側を「1辺−1」の組4つに分ける見方が身につけば、中空方陣や過不足の問題も同じ図で考えられます。答えが出たら、べつの数え方でもう一度数えてたしかめる習慣をつけましょう。

よくある質問

外側の1周はなぜ「×4−4」？

4つの辺をたすと、4つのかどの石を2回ずつ数えてしまうからです。「1辺−1」の組を4つ作る数え方なら、かどを重ねずに数えられます。

中空方陣はどう数える？

長方形4つに分けるか、全体の正方形からまん中の空いた正方形を引きます。2つの方法で同じ数になるか確かめると安心です。

何年生で習う？

小学4年ごろに習うことが多い単元です。

このページについて

くいずん（個人運営のクイズサイト）が作りました。例題と練習問題の数字はプログラムで計算し、答えが割り切れるか・たしかめの式が合うかを確かめてから出しています。練習問題は6つの型ごとに3,000問ずつ作り、問題文から数を読み取って別の式で解き直し、答えがすべて合うことを確かめています。解き方は中学受験で一般的な方法です。

更新日 ・まちがいを見つけたらお問い合わせから知らせてください。くいずんについて

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